「実数上の開集合は,可算個の開区間の和で表すことができる」

こんばんは.寒くなってまいりました.そろそろ年の瀬も近いですね.
上の命題特に測度論で自明に使うことが多いのですが,なかなか証明がのってなくて調べるのに苦労しました.

証明

実数は,可分な距離空間である.よって,第2可算公理を満たので,命題は成立する.(おわり)

直接証明

測度論を学んでいる人は位相論は学んでいるというのが前提なので,上のような内容は当たり前ということなのでしょう.(初学者には辛いのですが)
あまり込み入った用語を用いず直接証明をしてみます.

\(U\)を\(\mathbb{R}\)上の開集合とする.開集合の定義から,各\(x \in U\)に対して,\(\exists \epsilon_x > 0\),\(U_{\epsilon_x}(x) \subset U\)が成立.
ここで,\(U_{r}(x)\)は,\(x\)を中心として,半径\(r\)の開区間.

このとき,

\[U=\bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)\]

が成立.

証明

\(x \in U\) に対して,\(x \in U_{\epsilon_x}(x)\)なので,\(U\subset\bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)\).
\(y \in \bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)\) に対して,\(\exists x \in U, y \in U_{\epsilon_x}(x) \subset U\)なので,\(\bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)\subset U\). (証明終わり)

さて,\(U_{\epsilon_x}(x)\) に対して,有理数\(q_x\in U_{\epsilon_x/4}(x)\)を取ることができて,\(\epsilon_x/4 < r < \epsilon_x/2\)を満たす有理数\(r_x\)を取れば,\(U_r(q_x) \subset U_{\epsilon_x}(x)\)かつ,\(x\in U_{r}(q_x)\)となる.

このとき,

\[\bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)=\bigcup_{x\in U}U_{r_x}(q_x)\]

が成立.

証明

\(x \in U\) に対して,\(x\in U_{r}(q_x)\) なので, \(U \subset \bigcup_{x\in U}U_{r_x}(q_x)\).よって,\(U=\bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)\subset \bigcup_{x\in U}U_{r_x}(q_x)\).
\(y \in \bigcup_{x\in U}U_{r_x}(q_x)\)に対して,\(\exists x \in U, y \in U_{r_x}(q_x) \subset U_{\epsilon_x}(x)\).よって,\(\bigcup_{x\in U}U_{r_x}(q_x)\subset \bigcup_{x\in U}U_{\epsilon_x}(x)\).(証明終わり)

以上をまとめると,

\[U=\bigcup_{x\in U}U_{r_x}(q_x)\]

が成立する.\(q_x, r_x\)は有理数なので,\(U_{r_x}(q_x)\)は高々可算個である.よって,開集合は,可算個の開区間の和で表された.